Dấu >= hay <= vậy bạn? Bạn xem lại đề.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\dfrac{a^2}{4a^2+2ab+2ac+bc}=\dfrac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+\left(2a^2+bc\right)}\)

\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

Suy ra BĐT cần chứng minh viết lại như sau:

\(\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\le\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\le\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{9}}-2=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{2b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{2c^2}{2c^2+ab}\le2\)

\(\Leftrightarrow\left(1-\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}\right)+\left(1-\dfrac{2b^2}{2b^2+ca}\right)+\left(1-\dfrac{2c^2}{2c^2+ab}\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{bc}{bc+2a^2}=\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\ge\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+a^2\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{ca}{2b^2+ca}\ge\dfrac{c^2a^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2};\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}=1\)

Vậy BĐT cuối đúng hay ta có ĐPCM

@Akai Haruma @Vũ Tiền Châu @Phùng Khánh Linh

Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn

Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng

em cũng nghĩ thế mới dùng đc BDT AM-GM 3 số đúng ko thầy :)

3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)

\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)

\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)

Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :

\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)

Do đó:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài 2:

Thay $1=a+b+c$ và áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\)

\(=\frac{(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)}{abc}\)

\(\geq \frac{4\sqrt[4]{a.a.b.c}.4\sqrt[4]{b.a.b.c}.4\sqrt[4]{c.a.b.c}}{abc}=\frac{64abc}{abc}=64\)

Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài này có bạn giải rồi:

Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :\(\dfrac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(2b-c\right)}{... - Hoc24

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>b> c\). Khi đó \(a-b>0; b-c> 0; c-a< 0\)

Áp dụng BĐT AM-GM:\(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM: \((a-b)(b-c)\leq \left(\frac{a-b+b-c}{2}\right)^2=\frac{(c-a)^2}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{\frac{(c-a)^2}{4}}=\frac{8}{(c-a)^2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2} \)

Mà \(0\leq c< a\leq 2\Rightarrow 0< a-c\leq 2\Rightarrow (c-a)^2=(a-c)^2\leq 4\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2} \geq \frac{9}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị.

sky oi say oh yeah